V РОССИЙСКАЯ НАУЧНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ “ОТКРЫТИЕ”
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ
ФАКТЫ ГЕОМЕТРИИ
Автор: Степанова
Елизавета, ученица 9
класса Лицея № 2 г. Рыбинска
Научный руководитель:
Бормотова Валентина Анатольевна, заслуженный
учитель Российской Федерации, преподаватель математики лицея №2 г. Рыбинска.
Известно, что геометрия – это одна из древнейших наук на земле. Изучение различных теорем дает человеку множество знаний, которые он будет использовать всю свою жизнь. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах, а также в других источниках. Название науки “геометрия” – древнегреческого происхождения. Оно составлено из двух древнегреческих слов: ge – “Земля” и metreo – “измеряю”.
Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей. Это отразилось и в названиях многих геометрических фигур. Например, название фигуры трапеция происходит от греческого слова trapezion – “столик”, от которого также произошло слово “трапеза” и другие родственные слова.
Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направления их научных исследований порой менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков ее предмет, содержание и методы.
Понятие и факты геометрии постоянно применяются при решении практических задач. И дело не только в том, что, решая задачи по алгебре или другим областям математики, мы часто делаем геометрические чертежи или используем формулы и теоремы геометрии. Гораздо важнее то, что, сопоставив алгебраические или иные формулы с геометрическими фактами, мы часто можем “увидеть” геометрически решение задачи и найти такие пути рассуждений, предугадать которые, глядя “чисто алгебраически” на нагромождение формул, просто не представляется возможным. Вообще, характерной чертой современного развития математики является то, что геометрия все больше приобретает роль метода мышления, метода осмысления и организации математической информации буквально во всех областях математики и ее приложений.
Приведенные в моей работе теоремы значительно упрощают, на мой взгляд, решение сложных геометрических задач, а также повышают уровень знаний по элементарной геометрии.
Я сначала сформулирую и докажу теорему Птолемея, а затем расскажу немного о ее истории.
Теорема. Если четырехугольник
ABCD вписанный, то
AB*CD+BC*AD=AC*BD.
Мое доказательство будет в основном следовать доказательству самого Птолемея, приведенному им в книге “Альмагест”. Возьмем на диагонали АС такую точку Е, что Ð ABE=Ð DBC (рис. 1). Тогда D ДЛВ ~D ДBС, так как Ð BAE=Ð BAC=Ð BDC. Поэтому AB: BD=AE: DC, т. е. AB*DC=AE*BD. Ясно также, что Ð CBE=Ð DBA, а значит, D CBE~D BDA, так как Ð BCE=Ð BDA. Поэтому CB: BD=CE: DA, т. е. CB*DA= =CE*BD. Сложив полученные равенства, получим:
AB*CD+BC*AD=AE*BD+CE*BD=AC*BD.
Эта теорема понадобилась александрийскому астроному Клавдию Птолемею, жившему во II в. н. э., для составления таблицы синусов, точнее, таблицы длин хорд. Если AC Ђ диаметр окружности, то теорема Птолемея перепишется в виде cos a sin b+sin а cos b=sin (а+b) (рис. 2); если же в качестве диаметра взять сторону АВ, то получим формулу для синуса разности двух углов. Именно эти частные случаи использовал Птолемей для составления своих таблиц, очень нужных для астрономических расчетов; аналогичные таблицы составлялись и задолго до Птолемея астрономами Гиппархом и Менелаем.
В эпоху средневековья книга Птолемея, в которой содержались обширные сведения по астрономии, получила распространение в странах арабского Востока; астрономы называли ее там “Аль Маджисти” Ђ “Величайшее”, отсюда и происходит ее название “Альмагест”.
Одним из величайших гениев научной мысли в истории человечества является выдающийся английский физик, математик и философ Исаак Ньютон (1643Ђ1724). Сегодня его имя известно любому школьнику, начавшему изучать физику. И в наши дни механика, изучаемая в школе, есть не что иное, как ньютонова механика. Ее основы были изложены в знаменитых “Началах” Ньютона, появившихся на свет в 1687 г. В этом труде впервые в истории науки предлагалась в совершенстве разработанная математизированная аксиоматическая физическая теория Ђ механика тяготения.
Основным методом, при помощи которого Ньютон доказывал и выводил свои
утверждения, был геометрический метод. Более того, всю свою механику он
построил по образцу евклидовой геометрии.
Разрабатывая свою механику, и прежде всего небесную механику, Ньютон открыл целый ряд красивых геометрических фактов. О двух теоремах элементарной геометрии, связанных с именем Ньютона, я и хочу рассказать.
Теорема 1. Во всяком описанном четырехугольнике середины диагоналей и
центр вписанной окружности расположены на одной прямой.
Дадим два доказательства этой теоремы. Первое, сходное с рассуждениями самого Ньютона, основывается на следующей лемме:
ЛЕММА 1. Если на плоскости даны два отрезка АВ и CD (где AB||CD),
то геометрическим местом точек М, расположенных внутри одного из углов,
образованных АВ и CD и таких, что сумма площадей D
ABM и D CDM постоянна, есть отрезок с
концами на прямых АВ и CD.
Докажем это утверждение. Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке О (рис.
3). Отложим на сторонах этого угла отрезки ОE и OF, равные
соответственно АВ и CD. Площадь D
ОЕМ равна площади D AВМ, (так
как основания равны ОЕ=АВ, высота опущенная из точки М Ђ общая),
площадь D ОFМ равна площади D СДМ. Таким образом, аналогично сумма
площадей D ABМ и D CDM равна площади четырехугольника OEMF. В
свою очередь, этот четырехугольник можно составить из D OEF и D EMF. Поскольку
точка М перемещается так, что площадь четырехугольника остается постоянной, то
постоянной будет и площадь D EMF.
Это означает, что точка М перемещается по прямой, параллельной прямой EF
Докажем теперь первую теорему Ньютона. Пусть ABCD Ђ
описанный четырехугольник, О Ђ центр вписанной окружности, М и
KЂсоответственно середины диагоналей АС и BD (рис. 4). Если мы
докажем, что сумма площадей треугольников АВМ и CDM равна сумме
площадей треугольников АВК и CDK и равна сумме площадей
треугольников АВО и CDO, то из предыдущего утверждения будет
следовать, что точки М, К и О лежат на одной прямой. Но площадь D ЛВМ равна половине площади D AВС, площадь D
CDM равна половине площади D ACD,
следовательно, сумма площадей D ABM и D СДМ равна половине площади четырехугольника
ABCD. Точно так же сумма площадей D
ABK и D CDK равна половине
площади четырехугольника ABCD.
Пусть r Ђ радиус окружности, вписанной в ABCD. Известно (и нетрудно доказать), что S ABCD=pr, где р Ђ полупериметр ABCD. С другой стороны, по свойству описанного четырехугольника, AB+CD =ВС+DA. Следовательно,
SABO+SCDO=0.5(AB+CD)r=0.5рr=0.5SABCD
Таким образом, в самом деле, суммы площадей D ABM и D СДМ, D ABK и D CDK, D ABO и D CDO равны между собой (равны половине площади четырехугольника ABCD), т. е. точки М, К и О лежат на одной прямой.
Второе доказательство также основывается на вспомогательном (другом) утверждении:
ЛЕММА 2. Рассмотрим равнобедренный треугольник PQL, в котором PQ=QL. Построим окружность с центром на PL, касающуюся сторон PQ и QL. Пусть произвольная касательная к этой окружности пересекает прямые PQ и QL в точках Е и F. Тогда
PE*LE=1/4PL2.
Докажем это утверждение.
Пусть ОЂсередина PL (рис. 5). EO и FO Ђ биссектрисы соответственно Ð PEF и Ð EFL. Обозначим Ð EPO=Ð FLO=а, Ð PEF=2b, Ð EFL=2y. Поскольку 2а+2b+2у=360њ, то а+b+у=180њ, и, значит, Ð EOP=180њ-a-b=y, Ð FOL=180њ-a-y=b. Таким образом, D PEO~D LOF, поэтому
PE:PO=OL:LF, откуда PE*LF=PO*OL=1/4PL2.
Наше утверждение остается в силе, если точки £ и F (одна или обе) находятся на продолжении сторон PQ и QL.
Докажем теперь еще раз первую теорему Ньютона. Пусть ABCD Ђ описанный четырехугольник, О Ђ центр вписанной в него окружности, М и К Ђ соответственно середины AС и BD (рис. 6). Обозначим через B1и C1 точки, симметричные соответственно точкам B и С относительно точки О. Поскольку AC1||MO (MO Ђ средняя линия в D ACC1), а B1D||OK, то, для того чтобы точки М, О и К лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы AС1 и B1D были параллельны. Проводя касательную C1P(где Р лежит на АВ), параллельную CD, и касательную B1L, параллельную АВ, и обозначив через Q и Q1 точки пересечения РВ и CL, PC1 и LB1 соответственно, получим параллелограмм PQLQ1, описанный около окружности. Значит, PQLQ1 Ђ ромб. Применяя к D PQL и D PQ1L доказанное выше утверждение, получим:
AP*LD=1/4PL2, PC1*LB1=1/4PL2,
т. е. AP*LD=PC1*LB1,
AP:PC1=LB1:LD.
Учитывая, что Ð АРС1 =Ð B1LD, получим подобие D АРС1 и D B1LD. Из того, что две пары сторон этих треугольников параллельны, будет следовать параллельность третьей пары, т. е. AC1||B1D, что и требовалось доказать.
Замечу, что утверждение теоремы Ньютона можно сформулировать и в общем виде. А именно:
Пусть прямые АВ, ВС, CD и DA касаются окружности с центром в точке О. Тогда точка О и середины отрезков АС и BD лежат на одной прямой. На рисунке 7 показаны два возможных (отличных от рассмотренного нами) случая расположения точек А, В, С и D и точки О.
Обозначим через Е и F точки пересечения АВ и CD, AD и ВС соответственно. Легко сообразить, что середина EF лежит на той же прямой, что и середины AC, BD и точка О. Для этого достаточно в нашей теореме заменить А на Е, С на F. Таким образом, середины AC, BD и EF расположены на одной прямой. Оказывается, что это свойство справедливо для произвольной четверки прямых, необязательно касающихся одной окружности, т. е. имеет место следующая теорема:
Теорема 2. Пусть на плоскости, даны четыре прямые в общем
расположении, т. е. никакие две из этих прямых не параллельны, никакие три из
них не проходят через одну точку. Тогда середины трех отрезков, концами которых
являются точки попарного пересечения этих прямых, не лежащих на этих прямых,
расположены на одной прямой (рис. 8)
В отечественной литературе эту прямую обычно называют прямой Гаусса. В зарубежной Ђ эту теорему иногда приписывают Ньютону.
Известно много различных доказательств теоремы 2. Я докажу ее, основываясь
на несколько модифицированной лемме 1. Прежде чем переформулировать эту лемму,
введем следующие обозначения. Пусть на плоскости задана прямая АВ. Эта
прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Назовем одну из них
положительной (+)> а другую отрицательной (Ђ). Для произвольной точки М
плоскости обозначим через Q (АВМ) площадь треугольника АВМ,
взятую со знаком “+” или “Ђ” в зависимости от того, в какой из двух
полуплоскостей находится точка М. Точно так же для прямой CD одну
из двух полуплоскостей обозначим через “+”, а другую Ђ через “Ђ” и введем
обозначение Q (СОМ).
Лемма 3. Геометрическим местом точек плоскости, для которых Q(ABM)+Q (CDM) есть константа, является прямая линия.
Доказательство. Аналогично тому, как это делалось при доказательстве
леммы 1, отложим от ОЂточки пересечения АВ и CD Ђ отрезки ОЕ=АВ,
OF=CD (рис. 9). Если М принадлежит углу между AB и CD,
являющемуся пересечением положительных (или отрицательных) плоскостей, то
рассуждения те же, что и при доказательстве леммы 1, точка описывает отрезок
прямой, параллельной EF. Пусть М лежит в другой части плоскости,
например, как на рисунке 9. Тогда Q(ABM)+Q(CDM)=SABMЂSCDM=SEOMЂSFOM=SEOF+SEFM.
Поскольку D EOF постоянный,
то постоянной будет SEFM, т. е. M лежит на прямой, параллельной EF.
Легко видеть, что это та же прямая, что и внутри положительного угла (эти прямые пересекают DC в одной и той же точке).
Вернемся к нашей теореме. На рисунке 8 точки М1, M2, М3 Ђ соответственно середины AC, BD, EF. В соответствии с леммой 3 достаточно доказать, что Q (ABMi)+Q (CDMi,) одно и то же при i=l, 2, 3. Поскольку Q(ABM1+Q(CDM1)=Q(ABM2)+Q (CDM2)=0.5SABCD то нам надо доказать, что Q(ABM3)+Q(СОМ3)=0.5SABCD. Так как SABM3=0.5SABF и SCDM3 =0.5SCDF (точка М Ђ середина FE), то имеем Q(ABM3)+Q(CDM3)=SABM3-SCDM3=0.5SABF-0.5SCDF=0.5SABCD , что и требовалось. Значит, M1, M2, М3 лежат на одной прямой.
Очень большое значение в геометрии имеет теорема Чевы. Сформулируем ее: Если
на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки A1, B1 и
C1 соответственно и АА1, ВВ1 и СС1
пересекаются в одной точке, то:
AB1/B1C*CA1/A1B*BC1/C1A=1.
При нашем доказательстве воспользуемся следующей леммой:
ЛЕММА: Если на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 соответственно и АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, то: SAOB : SCOB = AB1: B1C.
Доказательство:
Проведем высоты на прямую BO и рассмотрим D AHB1 и D B1H1C: Ð AB1H=Ð CB1H1, как вертикальные; Ð H=Ð H1 по построению. Значит, D AB1H~D CB1H1 по двум углам, следовательно, AH:CH1=AB1:B1C.
C другой стороны SAOB : SCOB =AH:CH1= AB1:
B1C.
Теперь докажем саму теорему Чевы:
Рассмотрим D ABO и D CBO: по лемме SBOC: SAOB=B1C: AB1. Аналогично SAOC:SBOC=AC1:C1B; SAOB:SAOC=BA1:CA1. Перемножим полученные равенства:
AB1/B1C*CA1/A1B*BC1/C1A=
SAOB: SBOC* SBOC: SAOC* SAOC:
SAOB=1.
Теорема доказана.
Докажем и обратное утверждение. Пусть А1, В и С – точки, взятые на сторонах АВ, ВС и АС так, что выполнено равенство:
AB1/B1C*CA1/A1B*BC1/C1A=1 (1). Докажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 буквой О и проведем прямую СО. Пусть она пересечет прямую АВ в точке С2. Т. к. отрезки АА1, ВВ1 и СС2 пересекаются в одной точке О, то по прямой теореме Чевы:
AB1/B1C*CA1/A1B*BC2/C2A=1 (2). Т. е. , сопоставляя равенства (1) и (2), приходим к равенству ВС1/С1А=ВС2/С2А, которое показывает, что точки С1 и С2 делят сторону АВ в одном и том же отношении, значит, точки С1 и С2 совпадают, поэтому отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
Нетрудно построить треугольник по трем его медианам или же по трем высотам.
Но, оказывается, по трем биссектрисам в общем случае треугольник построить
нельзя. И вообще с биссектрисами все обстоит гораздо “хуже”, чем с медианами и
высотами. Многие теоремы, справедливые и легко доказываемые для медиан или
высот, становятся весьма трудно доказуемыми, а то и попросту неверными для
биссектрис. Как мы знаем, в равнобедренном треугольнике равны соответствующие
пары медиан, высот и биссектрис. Верны и обратные теоремы: если в треугольнике
равны две медианы (высоты, биссектрисы), то этот треугольник равнобедренный.
Для медиан и высот соответствующая теорема доказывается без труда. Гораздо
сложнее обстоит дело с биссектрисами. Впервые доказательство того, что из
равенства двух биссектрис следует равнобедренность треугольника, дано в работах
немецких геометров Штейнера и Лемуса. С тех пор это утверждение носит название теоремы
Штейнера Ђ Лемуса.
До сих пор теорема Штейнера Ђ Лемуса и различные вариации на ее тему вызывают живой интерес у математиков, как любителей, так и профессионалов, а различные математические журналы время от времени возвращаются к этой старинной теме.
В 1963 г. журнал “American Mathematical Monthly” (“Американский математический ежемесячник”) объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы Штейнера Ђ Лемуса. Среди многочисленных откликов были обнаружены интересные и ранее неизвестные доказательства. Приведем одно из них. Пусть в D AВС равны биссектрисы AA1и CC1. Предположим, что D ABC не является равнобедренным. Пусть для определенности Ð BCA>Ð BAC.
Возьмем на KA1 точку A2 так, что Ð C1CA2=0.5Ð BAC=Ð
C1AA2 (рис. 10). Из равенства углов C1AA2
и C1CA2 следует, что точки A, C, C1
и A2 лежат на одной окружности, Ð
C1AC и Ð АСА2
острые. (Ð ACA2 острый,
потому что Ð ACA2=Ð ACC1+Ð C1CA2=0.5(Ð BCA+Ð
BAC)=90-0.5Ð ABC). Значит, AA2>CC1,
поскольку хорде AA2 соответствует в построенной окружности больший
острый угол (Ð ACA2),
чем хорде CC1 (это Ð C1AC).
Получилось противоречие: CC1<AA2<AA1=CC1.
Следовательно, Ð ВАС=Ð ВСА и ВА=ВС.
В советской литературе обычно встречается доказательство теоремы Штейнера Ђ Лемуса, основанное на следующем признаке равенства треугольников: если сторона, противолежащий этой стороне угол и биссектриса этого угла одного треугольника равны соответственно стороне, углу и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны. Докажем этот признак.
Данные треугольники можно расположить так, как расположены D AB1C и D AB2C на рисунке 11: они имеют общую сторону АС, вершины B1 и B2 находятся по одну сторону от прямой АС и от серединного перпендикуляра к АС (если B1 и B2 по разные стороны от серединного перпендикуляра, то можно вместо B2 взять точку, симметричную В2 относительно этого перпендикуляра). По условию Ð AB1C=Ð AB2C, следовательно, описанные окружности D АВ1С и D АВ2С совпадают. Проведем биссектрисы B1M1 и В2М2 (они равны) и продолжим их до пересечения с описанной окружностью. Обе биссектрисы при продолжении пересекут эту окружность в точке К Ђ середине дуги АС. Если B1 и B2 не совпадают и расположены, как показано на рисунке 11, то B2K>B1K, так как хорда B2K ближе к центру окружности, чем хорда В1К, а КМ2< KM1, так как проекция наклонной КМ2 на прямую АС меньше, чем проекция на ту же прямую наклонной КМ1. Следовательно,
В2М2 = В2K -КМ2 > В1К – КМ1= В1M1,
что противоречит условию В1М1=В2М2. Значит, точки B1 и В2 должны совпасть.
Вернемся к рисунку 10 (в D ABC биссектрисы AA1и CC1 равны). В D ABA1 и D CBC1 имеем: угол ВЂобщий, AA1=CC1, биссектриса ВК Ђ общая, следовательно, по доказанному признаку эти треугольники равны.
Заметим, что на самом деле мы доказали несколько более общее утверждение:
если в D AВС равны отрезки AA1
и CC1 (где А1 на ВС, С1 на АВ), а их точка
пересечения находится на биссектрисе угла В, то АВ=ВС.
После знакомства с теоремой Штейнера Ђ Лемуса естественным образом возникает вопрос: верно ли аналогичное утверждение для биссектрис внешних углов треугольников? Напомню, что биссектрисой внешнего угла треугольника называется отрезок биссектрисы угла, смежного с углом треугольника, от соответствующей вершины до точки пересечения этой биссектрисы с продолжением противоположной стороны треугольника. В книге Коксетера “Новые встречи с геометрией,” 1978год, издательство Москва, приводится пример так называемого треугольника Ботемы: в треугольнике ABC с углами Ð A=12њ, Ð C=132њ, Ð B=36њ биссектрисы внешних углов A и C (рис. 12) равны между собой.
Возможны и другие вариации на тему Штейнера Ђ Лемуса. Так, например, легко видеть, что если расстояния от основания медианы (или высоты) треугольника до середины сторон, заключающих эту медиану (высоту), равны между собой, то треугольник равнобедренный. Для биссектрисы аналогичное утверждение уже неверно. Можно доказать, что в любом D ABC, стороны которого связаны соотношением (АВ+ВС)2=2АС2, основание биссектрисы угла В обладает требуемым свойством. Проверить это можно, используя теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника и формулу длины медианы треугольника. Обозначим для краткости стороны D ABC
стандартным образом: ВС=а, СА=Ь, АВ=с. По условию (а +с)2=2b2. Пусть a не равно с. Проведем биссектрису BB1 угла В (рис. 13). Нам надо проверить, что медианы в D АВВ1 и D СВВ1, выходящие из вершины B1, равны между собой. Обозначим их соответственно m и п. Поскольку АВ1+В1С=b и по теореме о биссектрисе
AB1:B1C=AB:BC=c:a,
то AB1=bc/(c+a).
Имеем:
4m2=2(bc/(c+a))2+2BB12-c2,
4n2=2(ab/(a+c))2+2BB12-a2
откуда
4m2-4n2=2(bc/(c+a))2+2BB12-c2-2(ab/(a+c))2-2BB12+a2=(2b2-(a+c)2)(c-a)/(a+c)=0
поскольку 2b2=(а+с)2.
Еще неожиданнее ответ на следующий вопрос. Известно, что треугольник с вершинами в основаниях биссектрис данного треугольника является равнобедренным. Следует ли из этого, что и данный треугольник является равнобедренным? (Для медиан и высот ответ на аналогичный вопрос будет утвердительным.) Ответ: вообще говоря, не следует. Пока, правда, ничего уж слишком неожиданного в этом ответе для нас нет. Неожиданность кроется в том, что стоит за этим оборотом “вообще говоря”. Оказывается, что если в D ABC выполняется равенство A1B1=B1C1, где А1, В1, С1 Ђ основания биссектрис этого треугольника, то возможны треугольники, в которых АВ не равно ВС, но у всех таких треугольников угол будет заключен в интервале от (приблизительно) 102њ40' до 104њ28' (концы интервала соответствуют углам, косинусы которых равны (Ö 17-5)/4 и –1/4). Во всех остальных случаях имеет место равенство АВ=ВС.
Итак, мы добрались до нашего столетия. Как же развивалась элементарная геометрия в. XX в.? Появились ли новые красивые геометрические теоремы? Возможны ли сегодня какие-то открытия в элементарной геометрии? На оба последних вопроса мы смело можем ответить: “Да, появились. Да, возможны”.
Эта глава посвящена одной удивительной теореме; ее автор Виктор Тебо,
крупный французский геометр нашего столетия. Вот формулировка теоремы Виктора
Тебо:
Пусть AВС Ђ произвольный треугольник, D Ђ произвольная точка на стороне AC, I1 Ђ центр окружности, касающейся отрезков AD, BD и описанной около D ABС окружности, I2Ђ центр окружности, касающейся отрезков CD, BD и описанной около D ABС окружности. Тогда отрезок I1I2 проходит через точку I Ђ центр окружности, вписанной в D ABС, и при этом I1I: II2=tg20.5j , где j =Ð BDA
Доказательство, которое я сейчас приведу, найдено московским школьником (учившимся в то время в IX классе) Владимиром Протасовым. Оно основывается на вспомогательных утверждениях (леммах).
Лемма 1. Пусть окружность касается дуги АВ некоторой окружности и хорды АВ в точках М и N. Тогда прямая MN проходит через середину дуги, дополняющей дугу АМВ до окружности.
Лемма 2. Пусть I Ђ центр окружности, вписанной в D ABС. Продолжение биссектрисы угла В этого треугольника пересекает описанную около D AВС окружность в точке В1. Тогда В1I= В1C.
Доказательство (рис. 14, a). Имеем Ð В1IC= Ð IBC+Ð ICB =0.5(Ð B+Ð C); Ð ICВ1=Ð ICA+ Ð ACB1=Ð ICA+Ð ABB1=0.5(Ð C+Ð B).
Таким образом, Ð B1IC=Ð ICB1, B1I=B1C.
Лемма 3. Пусть AСЂхорда окружности; В1Ђсередина дуги АС; прямая, проходящая через В1, пересекает АС в точке К и окружность в точке N (рис. 14, б). Тогда В1K*В1N= В1С2.
Доказательство. D В1KC ~ D В1CN, поскольку они имеют общий угол (Ð KВ1C) и, кроме того,
Ð CKВ1=0.5(È AN+ È B1C)=0.5(È AN+È AB1)=0.5È NAB1=Ð NCB1.
Следовательно, B1K: B1C= B1C: B1N, B1K*B1N= B1C2. Учитывая лемму 2, получим, что B1K*B1N= B1I2 (IЂцентр окружности, вписанной в D AВС, где ВЂточка дуги, дополнительной к È AB1C).
Лемма 4. Пусть IЂ центр окружности, вписанной в треугольник ABC; B1Ђ середина дуги АС окружности, описанной около D AВС; прямая, проходящая через B1, пересекает АС в точке K и описанную окружность в точке N. Тогда BIN =IKN (рис. 14, в).
Доказательство. Из леммы 3 следует, что B1K*B1N= B1I2, значит, D B1IN~ D B1KI и Ð IKB1 = Ð B1IN, откуда Ð IKN=Ð BIN.
Лемма 5. Пусть DЂточка на стороне АС D AВС. Рассмотрим окружность, касающуюся отрезков BD, DC и окружности, описанной около D AВС. Пусть М и КЂточки касания этой окружности с BD и DC соответственно. Тогда прямая МК проходит через точку IЂцентр окружности, вписанной в D ABС.
Доказательство. Пойдем от обратного. Пусть окружность касается отрезка DC в точке К и дуги ВС, описанной около ДЛ5С окружности в точке N.
Прямая KI пересекает эту окружность в точке М. Нам надо доказать, что ВМ касается этой окружности. Пусть B1Ђ середина дуги АС. По доказанному B1 лежит на прямой KN. Кроме того. ВI также проходит через B1. Далее, угол NMK измеряется половиной дуги KN маленькой окружности. Но ею же измеряется и угол NKC (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается; угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключенной внутри этого угла). Следовательно, Ð NMK= Ð NKC. Но угол NKC измеряется полу суммой дуг NC и АВ большой окружности, т. е. Ð NKC= =0.5(È NC+È AB1)=0.5(È NC+È B1C)=0.5È B1N=Ð NBI. Отсюда следует, что в четырехугольнике IBNM сумма противоположных углов равна 180њ, а, значит, вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.
Следовательно, Ð BMN=Ð BIN, так как в этой новой окружности эти углы опираются на одну дугу BN.
Но по лемме 4 Ð BIN =Ð IKN. Следовательно, Ð BMN=Ð NKM, а это означает, что маленькая окружность касается ВМ. (Ð BMN измеряется, как и Ð MKN, половиной дуги MN.) Из леммы следует, что прямая KI перпендикулярна биссектрисе угла BDC. Докажем теперь теорему Тебо.
Пусть окружность с центром I1 касается AD в точке L, а окружность с центром I2 касается DC в точке К (рис. 15).
По лемме 5 прямая IL перпендикулярна биссектрисе угла ADB, IK перпендикулярна биссектрисе угла BDC; это значит, что I1D параллельна IK, I2D параллельна IL. Продолжим KI и LI до пересечения с LI1 и KI2 в точках Р и Q соответственно (рис. 16). Тогда
PI1: I1L=DK: LD=K I2: I1Q, т. е.
точки I1 и I2 делят основания LP и QK трапеции LPQK (от
вершин L и Q) в одинаковом отношении. А это означает, что I1I2
проходит через IЂ точку пересечения диагоналей трапеции. Кроме того, I1I: I I1=PL: QK=LK tg 0.5j : LK/tg 0.5j = tg20.5j
На этом доказательство теоремы Виктора Тебо завершается.
1.
“100 великих
имен в математике, физике и географии”, филологическое общество “Слово”, АСТ,
Москва, 1998 год, авторы: Смирнов О. А. , Майорова Т. С. , Власова И. Г.
- “Геометрия. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс”,
издательство “Просвещение”, 1997 год, авторы: Атанасян Л. С. и др.
- “Факультативный курс по математике. 7 – 9 класс”, издательство
“Просвещение”, 1991 год.
- “Энциклопедический словарь юного математика”, издательство
“Москва. Педагогика”, 1985 год, составитель Савин А.П.
- Глава “Замечательные теоремы и факты геометрии”, авторы Прасолов
В. В. , Шарыгин И. Ф.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПТОЛЕМЕЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Задача. Пользуясь теоремой Птолемея, докажите теорему Пифагора.
Доказательство. Дополним прямоугольный треугольник АВС до прямоугольника АDВС. По определению прямоугольника, его внутренние углы будут равны 90њ , значит, прямоугольник можно вписать в окружность. Следовательно, по теореме Птолемея, АС * BD + AD * BC = =AD * CD, но по свойству прямоугольника AB = CD, AD = BC и AC =BD. Поэтому AC2 + BC2 = AB2.Итак, теорема доказана.
Задача. Пользуясь теоремой Птолемея, докажите теорему косинусов.
Доказательство. Дополним треугольник АВС до равнобедренной трапеции АМВС. По свойству трапеции сумма противоположных углов равна 180њ , поэтому около АМВС можно описать окружность. Следовательно, по теореме Птолемея, АВ * МС = ВС * АМ + АС * ВМ. Но АВ = МС и ВС = АМ (по свойству и определению равнобедренной трапеции соответственно), пусть ВН – высота трапеции, тогда ВМ = АС – 2*ВН = АС – 2*ВС*cos Ð АСВ, следовательно, АВ2 = ВС2 + АС2 – 2*ВС*АС* cos Ð АСВ. Теорема доказана.
Задача. Вокруг правильного треугольника описана окружность. Докажите, что сумма расстояний от точки М, лежащей на окружности, до двух вершин треугольника равна расстоянию от точки М до третьей вершины.
Доказательство. Рассмотрим четырехугольник АВМС. Он вписанный, значит, по теореме Птолемея АМ*ВС=АВ*МС + АС*ВМ. По условию треугольник АВС правильный, поэтому АВ=ВС=АС. Следовательно, АМ*ВС=ВС*(МС + ВМ); т. е. АМ = МС + ВМ.
Конечно, эти две теоремы и одна задача иллюстрируют далеко не всю область применения этой замечательной теоремы, но, на мой взгляд, в них полностью присутствует оригинальность и в то же время простота доказательства.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Задача. На стороне АС треугольника АВС взяты точки Р и Е, на стороне ВС – точки М и К, причем АР:РЕ:ЕС=СК:КМ:МВ. Отрезки АМ и ВР пересекаются в точке О, отрезки АК и ВЕ – в точке Т. Докажите, что точки О, Т и С лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть луч СТ пересекает сторону АВ в точке С1, а луч СО пересекает сторону АВ в точке С2. Используя теорему Чевы, можно доказать, что точки С1 и С2 делят отрезок АВ в одном и том же отношении, и, следовательно, совпадают. Но это и будет значить, что точки О, Т и С лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Задача. Используя теорему Чевы, докажите, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть каждый из отрезков АА1 , ВВ1 и СС1 делит периметр треугольника АВС пополам. Тогда АВ+ВА1=АС+ А1С=АВ + АВ1 =ВС + В1С=АС + АС1 =ВС + ВС1 = О.5*(АВ + ВС + АС).
Следовательно, АВ1 =А1 В, ВС1 =СВ1 , СА1 =АС1 , поэтому по теореме, обратной теореме Чевы, отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА
– ЛЕМУССА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Задача. В параллелограмме АВСD проведены биссектрисы Ð BDA и Ð BCD, DD` и СС` соответственно, так, что С` лежит на BD, а D` - на AB. Известно, что Ð CDB = 60º . Докажите, что ABCD – ромб, если CC` = DD`.
Доказательство. Проведем биссектрису AA`, А` лежит на BD. Очевидно, что АА`=DD`, как биссектрисы равных углов в равных треугольниках (∆ABD = ∆BCD по свойству параллелограмма), значит, AA` = DD`, т. е. по теореме Штейнера – Лемусса ∆ABD равнобедренный. Но по условию Ð BDC = 60º, по свойству накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми AB и CD и секущей BD, Ð ABD = Ð BDC = 60º, значит, треугольник ABD равносторонний, т. е. AB = BD = AD, по свойству параллелограмма AB = CD и AD = BC, значит, в данном параллелограмме все стороны равны, т. е. ABCD – ромб по определению, что и требовалось доказать.
Рисунок к теореме Чевы.
